28/08/09
Borges
Acaban de cumplirse 110 años del nacimiento de Jorge Luis Borges.
No es ninguna novedad que su obra presenta múltiples aristas: literarias, lingüísticas, filosóficas, políticas, etc. Y entre ellas está la matemática.
El matemático y escritor argentino Guillermo Martínez publicó hace algunos años Borges y la Matemática, una colección de ensayos en los que desmenuza varios de los elementos matemáticos que cruzan la obra de Borges, como lo son lo paradójico, el infinito, o la geometría, y analiza lo que llama la "estruturación lógica" con la que están organizados muchos de sus relatos. El libro es de referencia indispensable, y su primer capítulo se puede leer online aquí.
La imaginería matemática de Borges fue seguramente estimulada por otro libro, Matemáticas e Imaginación. Publicado en 1940, fue escrito por dos matemáticos estadounidenses, Edward Kasner y James Newman, y es parte de la colección Jorge Luis Borges - Biblioteca Personal, que todavía se consigue en algunas librerías de usados. Buena parte del libro se puede leer online aquí.
Matemáticas e Imaginación recorre de manera entretenida y accesible algunos temas muy jugosos de la matemática: infinitos, paradojas, probabilidades, geometrías no euclideanas, el cálculo infinitesimal, y muchos otros.
Quiero contarle aquí tres de los tantísimos problemas y curiosidades que uno puede encontrar y disfrutar en el libro de Kasner y Newman.
1. Usted conoce qué es Google, pero ¿sabe qué es un googol?
Un googol es un número muy grande: 10100, es decir, un 1 seguido de cien ceros.
Es tan grande que resulta sumamente difícil imaginar de qué orden de magnitud es este número gigantesco. Es muy probable que cualquier número que usted imagine se quede corto ante el googol.
¿La cantidad de estrellas en nuestra galaxia? Se supone que son unas 1011.
¿La cantidad de granos de arena en el mundo? Se calcula que son un número entre 1020 y 1024.
La cantidad de electrones en todo el universo es de "apenas" 1080: el googol sigue siendo más grande.
Kasner imaginó el número y, cuando quiso bautizarlo, pidió la colaboración de su sobrino de nueve años de edad. Éste sugirió el nombre googol, que hizo así su presentación en sociedad en este libro. Casi 60 años después, con su grafía transformada, el googol le dio nombre a Google.
2. Dos anillos anudados no se pueden separar sin romper alguno de ellos. Esto, que resulta tan evidente, no era tan sencillo de demostrar hasta la aparición de la topología.
Consígase ahora un par de sogas y "anúdese" con un/a amigo/a como en la figura, de manera que no pueda escaparse de la soga ninguna de las manos. Sin embargo, esta atadura de pareja no es equivalente a la de las dos anillas y es posible separarse sin cortar ninguna de las sogas. ¿Cómo lograrlo?
3. El círculo grande de la izquierda da una rotación completa, como una rueda que gira por sobre la línea AB, hasta ocupar el lugar del círculo de la derecha.
La distancia AB es entonces equivalente a la longitud de la circunferencia grande.
Observe ahora a la izquierda el círculo más pequeño, que está situado dentro del mayor.
Junto con la rotación del círculo mayor, este círculo menor también da una vuelta completa, recorriendo la distancia CD.
Al igual que antes, la distancia CD debe ser equivalente a la longitud de la circunferencia del círculo menor.
Pero como la distancia AB es igual a la distancia CD, debemos deducir que la longitud de la circunferencia del círculo mayor es igual que la longitud de la circunferencia del círculo menor... lo cual es absurdo. ¿Dónde está el error?
00:30 Permalink | Comentarios (9) | Trackbacks (1) | Email esto | Tags: problemas
Trackbacks
La URL para efectuar un trackback en esta nota es: http://adrianpaenza.blog.arnet.com.ar/trackback/53442
Borges en Terabytes
Tomo prestada una idea salida de dos textos de Borges: “La biblioteca de Babel” y “La biblioteca total”. Mucho se ha escrito sobre el primero, un poco menos sobre el segundo. Con diferencias, en ambos textos se menciona la posib...
Trackback por: Blog de un otario | 24/10/09
Comentarios
En el problema 2, si paso la soga de uno de los atados por el espacio que rodea la mano del otro, luego paso esa soga por sobre su mano y lo vuelvo a meter para adentro, y hago éste mismo ejercicio con el otro brazo, quedan liberados.
En el problema 3, el círculo mayor tiene únicamente un movimiento de rotación, mientras que el círculo menor, tiene dos movimientos, además de rotar, también tiene una traslación.
Anotado por: Ricardo | 28/08/09
Problema 3: consideremos los círculos concéntricos de radios r y R, siendo R mayor que r. El único punto que recorre una trayectoria rectilínea es el centro del círculo, es decir, recorre una distancia horizontal = 2*PI*R = AB = CD.
Cualquier otro punto del círculo realiza una trayectoria curva llamada cicliode.
En especial el punto A recorre una cicliode de longitud = 8*R
El punto C desarrolla una cicliode de longitud = 8*r
Como R>r, la distancia que recorre el punto A es mayor a la que recorre el punto C.
Saludos cordiales.
Ricardo Macayo
Anotado por: Ricardo Macayo | 02/09/09
Problema 3. Yo no estoy de acuerdo con Ricardo. Los dos tienen un movimiento de rotación sumado a traslación que genera una curva tipo función seno. La del punto A con una altura igual al diámetro mayor y la del C con una altura igual al diámetro menor. La longitud de la curva de A es mayor a la de la curva que genera C porque las traslaciones son iguales pero las circunferencias no lo son.
Al unir en forma recta los puntos AB y CD solo se tuvo en cuenta una parte del movimiento y eso es lo que nos confunde.
Anotado por: Christian | 03/09/09
Yo estoy de acuerdo con los dos Ricardos (si es que efectivamente son dos, y no es la misma persona). Es como si el circulo grande llevara de paseo al circulo pequeño, "trasladándolo" hasta el punto D haciéndolo rotar a la misma velocidad. Pero si el círculo menor estuviese solo, nunca podría recorrer con un solo giro la linea CD.
Anotado por: Adrian | 04/09/09
problema 3: al ejercicio lo plantie como si fuera un movimiento circular; para ello supuse lo siguiente: desplazamiento angular (d), velocidad angular (w) y el tiempo (t).
para la circunferenci mas chica: d1=w1*t1 NOTA: los 1 y 2 son subindices para
para la circunferencia grande: d2=w2*t2 para diferenciar las circunferencias
esta ecuacion significa que el desplazamiento es igual a la velocidad po el tiempo.
Para ambas circunferencias el tiempo en todo momento es el mismo, por lo tanto t1=t2. t1=d1/w1 y t2=d2/w2 → d1/w1=d2/w2
y tambien sabemos que d2= 2*PI*R=AB y que d1=2*PI*r=CD esto lo reemplazo en las ecuaciones anteriores y me queda que:
2*PI*r/w1=2*PI*R/w2 →[CD*w2=AB*w1] y lo que se observa en la grafica es que AB=CD lo cual no es posible ya que AB deberia ser mayor que CD por el tema de la long de las circunferencia. "Lo que no se observa en la grafica es la existencia de las velocidades angulares de cada circunferencia" y la falta de estos factores es la que nos hace caer en el error de creer que las longitudes de ambas circunferencias sean iguale. LO CORRECTO seria decir que CD*w2=AB*w1
y tambien decir que AB>CD y tambien es cierto que w2>w1.
ESPERO QUE ME HAYAN ENTENDIDO!!!!!!!. SALUDOS. GONZALO COGNO
Anotado por: GONZALO COGNO | 05/09/09
Ojo, Adrian del comentario anterior, los puntos C y A no rotan a la misma velocidad.
Anotado por: Christian | 05/09/09
Estoy de acuerdo con el primer Ricardo. Si analizamos los puntos entre A y el centro de la circunferencia veremos que pasamos de una rotación pura, en el punto A, a una traslación puro, en el centro de la circunferencia. Los puntos intermedios tienen un movimiento combinado de rotación y traslación, de ahí el punto para desmontar la supuesta paradoja.
El segundo problema no lo veo claro. Por un momento lo vislumbré, pero ahora ya no lo veo. Creo que la solución viene por pasar el lazo de una de las dos personas por la cabeza y el cuerpo de la otra, pero aún no lo veo.
Anotado por: Efrén | 05/09/09
Ojo, Efrén, en el centro de la circunferencia sí hay mov. de traslación pura pero A NO es rotación pura como decís. Si fuera así, A luego de la rotación pura volvería a coincidir en el mismo lugar de antes de comenzar.
El punto A se mueve con rotación mas traslación.
Anotado por: Christian | 06/09/09
Bueno, ya que se explicó muy bien la manera numérica en otros comentarios, lo voy a tratar de explicar de manera lógica con algun ejemplo o analogía, para no repetir las explicaciones de los demas!!
Un ejemplo seria un reloj, con las agujas del minutero (radio=2) y de la hora (radio=1) por ejemplo. Ahora, la aguja de la hora recorrera un espacio circular PI (supongamos el circulo menor del planteo), mientras que el minutero recorrera 2*Pi (o el circulo mayor del planteo)
Ahora bien, si "atásemos" las agujas y las hacemos correr a ambas a la velocidad del minutero, cuando pase una hora, ambas agujas habran recorrido toda la circunferencia (el minutero 2*Pi, y la aguja de la hora Pi). Es decir que una aguja "arrastra o lleva de paseo" a la otra, como dijeron en algun comentario!
Obviamente este es un ejemplo de rotación, no de traslación, pero creo que sirve tambien para ayudar a razonarlo!
Otros ejemplos/analogias:
Otra manera lógica seria pensar el movimiento de ambos circulos como los de un cd/dvd de musica, donde las rpm del disco para la primera cancion (mas hacia el centro) es diferente a las siguientes, hasta llegar a la ultima, donde el radio del cd/dvd es mayor, y la pista de audio tiene mayor recorrido que en las canciones mas cercanas al centro.
Otra manera tambien seria pensarlo como una carrera de atletismo, en una pista circular con 8 carriles (la 1 mas cercana al centro), donde si todos los competidores salen de una linea de largada que sea el radio de la pista (y no cada corredor mas atras q otro como en atletismo), cada corredor que mas se aleje del centro recorrera un espacio mayor, y por lo tanto debera correr a una mayor velocidad para igualar a sus competidores.
Saludos a todos!
Anotado por: Gustavo | 07/09/09
Dejar un comentario
NB: Los comentarios son moderados en este blog.